單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,,*,第一節(jié) 孤立奇點(diǎn),一、孤立奇點(diǎn)的概念,二、函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系,三、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài),四、小結(jié)與思考,,1,,一、孤立奇點(diǎn)的概念,定義,,如果,函數(shù),在,,不解析,,,但,在,的某一去心鄰域,內(nèi)處處解析,,,則稱,為,的,孤立奇點(diǎn),.,例,1,是函數(shù),的孤立奇點(diǎn),.,是函數(shù),的孤立奇點(diǎn),.,注意,:,,孤立奇點(diǎn)一定是奇點(diǎn),,,但奇點(diǎn)不一定是孤,立奇點(diǎn),.,,2,,例,2,,指出函數(shù),在點(diǎn),的奇點(diǎn)特性,.,解,即在,的不論怎樣小的去心鄰域內(nèi),,,的奇點(diǎn)存在,,,函數(shù)的奇點(diǎn)為,總有,不是孤立奇點(diǎn),.,所以,,3,,孤立奇點(diǎn)的分類,依據(jù),在其孤立奇點(diǎn),的去心鄰域,內(nèi)的洛朗級數(shù)的情況分為三類,:,1,．,可去奇點(diǎn),1,．可去奇點(diǎn),; 2,．極點(diǎn),; 3,．本性奇點(diǎn),.,如果洛朗級數(shù)中不含,,的負(fù)冪項,,,那末孤立奇點(diǎn),,稱為,,的可去奇點(diǎn),.,1),定義,即：,z0,是,f(z,),而不是其洛朗展式的奇點(diǎn),,4,,其和函數(shù),為在,解析的函數(shù),.,說明,: (1),(2),無論,在,是否有定義,,,補(bǔ)充定義,則函數(shù),在,解析,.,,5,,,2),可去奇點(diǎn)的判定,(1),由定義判斷,:,的洛朗級數(shù)無負(fù),在,如果,冪項則,為,的可去奇點(diǎn),.,(2),,判斷極限,若極限存在且為有限值,,,則,為,的可去奇點(diǎn),.,,6,,如果補(bǔ)充定義,:,時,,,那末,在,解析,.,例,3,中不含負(fù)冪項,,,是,的可去奇點(diǎn),.,,7,,例,4,說明,為,的可去奇點(diǎn),.,解,,所以,為,的可去奇點(diǎn),.,無負(fù)冪項,另解,,的可去奇點(diǎn),.,為,,8,,2.,極點(diǎn),,其中關(guān)于,的最高冪為,即,階極點(diǎn),.,那末孤立奇點(diǎn),稱為函數(shù),的,或?qū)懗?1),定義,,如果洛朗級數(shù)中只有有限多個,的,負(fù)冪項,,,,9,,說明,:,1.,2.,特點(diǎn),:,(1),(2),的極點(diǎn),,,等價于,為函數(shù),如果,例,5,有理分式函數(shù),是二階極點(diǎn),,,是一階極點(diǎn),.,,10,,2),極點(diǎn)的判定方法,的負(fù)冪項為有,的洛朗展開式中含有,限項,.,在點(diǎn) 的某去心鄰域內(nèi),其中 在 的鄰域內(nèi)解析,,,且,(1),由定義判別,(2),由定義的等價形式判別,(3),利用極限,判斷,,.,,11,,課堂練習(xí),求,的奇點(diǎn),,,如果是極點(diǎn),,,指出它的,階數(shù),.,答案,,12,,本性奇點(diǎn),3.,如果洛朗級數(shù)中,含有無窮多個,那末孤立奇點(diǎn),稱為,的本性奇點(diǎn),.,的負(fù)冪項,,,例如，,含有無窮多個,z,的負(fù)冪項,特點(diǎn),:,,在本性奇點(diǎn)的鄰域內(nèi),不存在且不,為,同時,不存在,.,,13,,綜上所述,:,孤立奇點(diǎn),①,可去奇點(diǎn),②,m,階極點(diǎn),③,本性奇點(diǎn),洛朗級數(shù)特點(diǎn),存在且為,,有限值,不存在,,且不為,無負(fù)冪項,含無窮多個負(fù)冪項,含有限個負(fù)冪項,關(guān)于,的最高冪,為,,14,,二、函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系,1.,零點(diǎn)的定義,不恒等于零的解析函數(shù),如果,能表示成,其中,在,解析且,m,為某一正整數(shù),,,那末,稱為,的,,m,級零點(diǎn),.,例,6,注意,:,,不恒等于零的解析函數(shù)的零點(diǎn)是,孤立,的,.,,15,,2.,零點(diǎn)的判定,零點(diǎn)的充要條件是,證,,(,必要性,),由定義,:,設(shè),的泰勒展開式為,:,如果,在,解析,,,那末,為,的,級,如果,為,的,級零點(diǎn),,16,,其中,展開式的前,m,項系數(shù)都為零,,,由泰勒級數(shù)的系數(shù),公式知,:,并且,充分性證明略,.,,17,,(1),由于,知,是,的一級零點(diǎn),.,課堂練習(xí),是五級零點(diǎn),,,是二級零點(diǎn),.,知,是,的一級零點(diǎn),.,解,,(2),由于,答案,例,7,求以下函數(shù)的零點(diǎn)及級數(shù),:,(1),(2),的零點(diǎn)及級數(shù),.,求,,18,,3.,零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系,定理,如果,是,的,m,級極點(diǎn),,,那末,就是,的,,m,級零點(diǎn),.,反過來也成立,.,證,如果,是,的,m,級極點(diǎn),,,則有,當(dāng) 時,,,函數(shù),在,解析且,,19,,由于,只要令,,那末,的,m,級零點(diǎn),.,就是,反之如果,,的,m,級零點(diǎn),,,是,那末,當(dāng) 時,,,解析且,所以,是,的,m,級極點(diǎn),.,,20,,說明,此定理為判斷函數(shù)的極點(diǎn)提供了一個較為,簡便的方法,.,例,8,函數(shù),有些什么奇點(diǎn),,,如果是極點(diǎn),,,指出,它的級,.,解,,函數(shù)的奇點(diǎn)是使,的點(diǎn),,,這些奇點(diǎn)是,是孤立奇點(diǎn),.,的一級極點(diǎn),.,即,,21,,解,,解析且,所以,不是二級極點(diǎn),,,而是一級極點(diǎn),.,是,的幾級極點(diǎn),?,思考,例,9,問,是,的二級極點(diǎn)嗎,?,注意,:,不能以函數(shù)的表面形式作出結(jié)論,.,,22,,三、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài),1.,定義,如果函數(shù),在無窮遠(yuǎn)點(diǎn),的去心,鄰域,內(nèi)解析,,,則稱點(diǎn),為,的孤,立奇點(diǎn),.,R,x,y,o,,23,,令變換,規(guī)定此變換將,:,映射為,擴(kuò)充,z,平面,擴(kuò)充,t,平面,映射為,映射為,映射為,,24,,結(jié)論,:,,在去心鄰域,內(nèi)對函數(shù),的研究,在去心鄰域,內(nèi)對函數(shù),的研究,因為,在去心鄰域,內(nèi)是解析的,,,所以,是,的孤立奇點(diǎn),.,規(guī)定,:,,m,級奇點(diǎn)或本性奇點(diǎn),.,的可去奇點(diǎn)、,m,級奇點(diǎn)或,本性奇點(diǎn),,,如果,t=,0,,是,是,的可去奇點(diǎn)、,那末就稱點(diǎn),,25,,1),不含正冪項,;,2),含有有限多的正冪項且,為最高正冪,;,3),含有無窮多的正冪項,;,那末,是,的,1),可去奇點(diǎn),;,2),m,級極點(diǎn),;,3),本性奇點(diǎn),.,判別法,1 (,利用洛朗級數(shù)的特點(diǎn),),2.,判別方法,:,在,內(nèi)的洛朗級數(shù)中,:,如果,,26,,例,10 (1),函數(shù),在圓環(huán)域,內(nèi)的洛朗展開式為,:,不含正冪項,所以,是,的可去奇點(diǎn),.,(2),函數(shù),含有正冪項且,z,為最高正,冪項,,,所以,是,的,m,級極點(diǎn),(,m,=1).,,27,,(3),函數(shù),的展開式,:,含有無窮多的正冪項,所以,是,的本性奇點(diǎn),.,課堂練習(xí),的奇點(diǎn)及其,類型,.,說出函數(shù),答案,,28,,判別法,2 : (,利用極限特點(diǎn),),如果極限,1),存在且為有限值,;,2),無窮大,;,3),不存在且不為無窮大,;,那末,是,的,1),可去奇點(diǎn),;,2),m,級極點(diǎn),;,3),本性奇點(diǎn),.,1),沒有正冪次項,2),正冪次項最高次數(shù)為,m,次,3),正冪次項有無窮項,對應(yīng),f(z,),的洛朗級數(shù)：,,29,,例,11,函數(shù),在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi),有些什么類型的奇點(diǎn),?,如果是極點(diǎn),,,指出它的級,.,解,,函數(shù),除點(diǎn),外,,,所以這些點(diǎn)都是,的一級零點(diǎn),,,故這些點(diǎn)中除,1, -1, 2,外,,,都是,的三級極點(diǎn),.,內(nèi)解析,.,在,,30,,所以,那末,是,的可去奇點(diǎn),.,,,因為,,31,,不是,的孤立奇點(diǎn),.,所以,,32,,四、小結(jié)與思考,理解孤立奇點(diǎn)的概念及其分類,;,掌握可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)與本性奇點(diǎn)的特征,;,熟悉零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系,.,,33,,思考題,,34,,思考題答案,放映結(jié)束，按,Esc,退出,.,,35,,。