單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,*,*,第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度,一、方向?qū)?shù),二、梯度,一、問題的提出,一塊長方形的金屬板，受熱,產(chǎn)生如圖溫度分布場.,設一個小蟲在板中逃生至某,問該蟲應沿什么方向爬行，,才能最快到達涼快的地點？,處，,問題的,實質(zhì),：,應沿由熱變冷變化最劇烈的,方向爬行,需要計算場中各點沿不同方向的溫度變化率，,從而確定出溫度下降的最快方向,引入兩個概念：,方向?qū)?shù),和,梯度,方向?qū)?shù)問題,梯度問題,討論函數(shù) 在一點,P沿某一方向的,變化率問題,二、方向?qū)?shù),當 沿著 趨于 時,，,是否存在？,記為,的方向?qū)?shù)為,同理,沿,y,軸正向,的方向?qū)?shù)分別為,在點,沿著,軸正向,若偏導 存在,則,方向?qū)?shù)是單側極限，而偏導數(shù)是雙側極限.,原因：,證明,由于函數(shù)可微，則增量可表示為,方向?qū)?shù)的存在及計算公式,那末函數(shù)在該點沿任意方向,l,的方向?qū)?shù)都存在，,定理 如果函數(shù),在點,可微分，,且有,為,軸到方向,l,的轉(zhuǎn)角,其中,計算公式,故有方向?qū)?shù),兩邊同除以,得到,故,x,軸到方向,l,的轉(zhuǎn)角,解,方向,l,即為,所求方向?qū)?shù),解,由方向?qū)?shù)的計算公式知,（1）最大值;（2）最小值；（3）等于零？,例2,求函數(shù),在點(1,1)沿與,x,軸方向夾角為,的方向射線,的方向?qū)?shù).,并問在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)有,故,方向?qū)?shù)達到最大值,;,方向?qū)?shù)達到最小值,;,方向?qū)?shù)等于,0,.,推廣,:,三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義,對于三元函數(shù),它在空間一點,沿著方向,l,的方向?qū)?shù)，,可定義為,其中,）,方向?qū)?shù)的計算公式,解,令,故,方向余弦為,求函數(shù),在此處沿方向,的方向?qū)?shù).,是曲面,例3 設,在點,處的指向外側的法向量,故,三、梯度,設,是方向,l,上的單位向量,，,當 時，,有最大值.,其中,由方向?qū)?shù)公式知,結論,當,不為零時，,x,軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為,函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量，,它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為方向?qū)?shù)的最大值,梯度的模為,在幾何上 表示一個曲面,曲面被平面 所截,得曲線,它,在,xoy,面,上投影方程：,等高線,稱為,等值線,.,等值線,幾何上，稱為,等高線,.,例如,等值線,上任一點處的一個法向量為,表明：梯度方向與等值線的一個法線方向相同，,它的指向為從數(shù)值較低的等值線指向較高的等,梯度的模就等于函數(shù)在這個法線方向的,方向?qū)?shù).,值線，,問題,：,上山時，如何選擇最快的方向？,計算方法課程中的一種計算策略：,“瞎子下山法”,類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.,梯度的概念可以推廣到三元函數(shù),解,由梯度計算公式得,故,則在,處梯度為,例4,求函數(shù),在點,處的梯度，并問在何處梯度為零？,一、,方向?qū)?shù),（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導數(shù)的,區(qū)別）,小 結,1.定義,2.計算公式,二、梯度,（注意梯度是一個,向量,）,定義,方向：,x,軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切,模,：,三、方向?qū)?shù)與梯度的關系,方向,與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,模,為方向?qū)?shù)的最大值.,梯度：,其中,思考題,問函數(shù)在某點處沿什么方向的方向?qū)?shù)最大？,答：梯度方向,答：,作 業(yè),P.51,習題,8-7,1;4;7;8;10.,練 習 題,練習題答案,。